Änderungsraten
Aufgabe
Karina bekommt 50 € Taschengeld, Vanessa doppelt so viel. Beide gehen mehrere Male einkaufen und geben jedes Mal jeweils gleich viel Geld für Schminke und T-Shirts (von ...) aus.
| $n$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $B_1(n)$ | 50 | 45 | |
| $B_2(n)$ | 100 |
Beschreibe, wie sich die Taschengeld-Bestände verändern.
Beschreibe die Veränderungen so, dass man an ihnen erkennen kann, wem die Einkäufe wichtiger sind.
Änderungsraten
Mögliche Lösung
$B_1 = $ Karinas Taschengeld-Bestand
$B_2 = $ Vanessas Taschengeld-Bestand
$n = $ Anzahl Einkäufe
| $n$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $B_1(n)$ | 50 | 45 | 40 |
| $B_2(n)$ | 100 | 95 | 90 |
$B_1$ nimmt im ersten Schritt um 10 % ab. Wir sprechen zukünftig von einer prozentualen Veränderung mit $ p_1 = - 0,1 % $ .
Wie kann man die prozentuale Veränderung ausrechnen?
Der Frage "Wie viel Prozent von 50 € sind -5 €?" entspricht die Mathematisierung
$ p_1 \cdot 50 = -5 $
$\Leftrightarrow p_1 \cdot 50 = 45-50 $
$ \Leftrightarrow p_1 = \frac{45-50}{50} \Leftrightarrow p_1 = \frac{B(1)-B(0)}{B(0)} $
Änderungsraten
Fazit
Allgemein gilt also für eine relative/prozentuale Änderungsrate von einem zum nächsten Schritt:
$p = \frac{B(n+1)-B(n)}{B(n)}$
Die prozentuale Veränderung ist also eine relative Veränderung und zwar relativ zum vorhergehenden Bestand. Um sie zu berechnen, kann man die absolute Veränderung durch den älteren Bestand teilen.
Relative Änderungsraten
Übung
Berechne die anderen drei relativen Änderungsraten
| $n$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $B_1(n)$ | 50 | 45 | 40 |
| $B_2(n)$ | 100 | 95 | 90 |
Änderungsraten
Wachstumsfaktor
Unter Rückgriff auf unsere Bruchrechenkenntnisse, die wir in der Unterstufe erlangt und in Klasse 8 gefestigt haben, können wir die Formel für die relative Änderungsrate umformen: $p = \frac{B(n+1)-B(n)}{B(n)} = \frac{B(n+1)}{B(n)} - \frac{B(n)}{B(n)} = \frac{B(n+1)}{B(n)} - 1$
Wir definieren $k = \frac{B(n+1)}{B(n)} $ und nennen $k$ Wachstumsfaktor.
Dann gilt zwischen dem Wachstumsfaktor und der relativen Änderungsrate:
$ p = k -1$ und $k = p+1 $.
Bereche zur obigen Aufgabe alle Wachstumsfaktoren.
Wie kann man unter Verwendung der Wachstumsfaktoren die Bestände berechnen?
| $n$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $B_1(n)$ | 50 | ||
| $B_2(n)$ | 100 |
$p_1 = -0,1 \Rightarrow k_1 = -0,1 + 1 = 0,9$
$B_1(1) = B_1(0) \cdot k_1 = 50 \cdot 0,9 = 45$
Wenn man nicht versucht, etwas zu tun, was jenseits des bereits Gemeisterten liegt, dann wird man nicht wachsen.
Ralph Waldo Emerson