Beschränktheit

Definitionen

$a_n$ beschränkt $\Leftrightarrow \exists s,S: s \leq a_n \leq S$

Supremum = Kleinste obere Schranke

Infimum = Größte untere Schranke

Bemerkung

Beschränkte Folgen habe nicht notwendig einen Grenzwert. Beweis:

$a_n = (-1)^n \frac{2+n}{2n+3}$ hat zwei Häufungspunkte: $\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}$ .

Da der hintere Faktor monoton fallend ist (s.o.) gilt: $a_1 \leq a_n \leq a_2$ .

Beweise mittels Definition

$a_n = \frac{10n+7}{5+2n}$

1. Untere Schranke: Da $a_n$ monoton wächst (s.o.), kann als untere Schranke das Infimum genommen werden: $a_1 = \frac{3}{7}$.
2. Obere Schranke: Polynomdivision ergibt $a_n = 5 - \frac{32}{2n+5}$. Da der hintere Summand $> 0$ ist, ist $a_n$ nie $5$ oder größer.
3. Ergebnis: $\frac{3}{7} \leq a_n \leq 5$.

$a_n = \frac{2n+1}{n+1}$

Oben haben wir gezeigt, dass $a_n$ monoton wächst. Die Polynomdivision hat zudem ergeben, dass $a_n = 2 - \frac{1}{n+1}$.

Beweise mittels vollständiger Induktion

$a_{n+1} = \sqrt{5 a_n},\quad a_1 = 1$

zz: $a_n$ beschränkt

Behauptung: $S = 5$

IA: $a_1 = 1 < 5$

IV: $a_n \leq 5$

IS, $n \rightarrow n+1$: $a_{n+1} = \sqrt{5 a_n} \stackrel{\textsf{IV}}{\leq} \sqrt{25} = 5$

Zeigen Sie, dass aus der Annahme, dass der Limes der Folge $a$ ist, $a = 5$ folgt, indem Sie die Definition der Folge betrachten.

Man spricht hier von beidseitigem Grenzübergang.