Grenzwert von Reihen

Berechnung mittels Teleskopsumme

$s_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}$

Formt man die Partialsummen unter der Idee der Teleskopsumme um, sieht man, dass man (durch $+k-k$ im Zähler) die n-te Partialsumme umschreiben kann zu:

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Damit ist

$s_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

Also ist der Grenzwert der Reihe 1.

Übung

Berechne die Grenzwerte der Reihe. Tipp: Binomische Formel.

Grenzwert bei geometrischen Reihen

Die Idee der Teleskopsumme hilft auch bei den geometrischen Reihen:

$s_n \cdot (1-q) = \ldots = 1 - q^{n+1}$

$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Für $|q|< 1$ haben wir also den schönen Grenzwert

$s = \frac{1}{1-q}$

Übungen

a) Berechne den Grenzwert der Reihe

$s_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k$

b) Berechne $0,999 \ldots$ mittels Grenzzwertberechnung einer geometrischen Reihe. Tipp: $0,999 \ldots = 0,9 \cdot \left( 1 + \ldots \right)$. Lösung