Betrags(un)gleichungen

Eine Betrags(un)gleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable in einem Betrag steht.

Beträge betragsfrei schreiben

Schreibe betragsfrei:

1. $|x|$
2. $|x+2|$ Lösung
3. $|x|-1$

Betragsfunktionen zeichnen

1. $f(x) = |x|$
2. $f(x) = |x+2|$
3. $f(x) = ||x|-1|$

Betrag(un)gleichungen mit einer Variable

Da du bei Betrags(un)gleichungen auch eine Fallunterscheidung machst, bei der du das x jeweils in einem eingeschränkten Bereicht betrachtest, musst du auch hier jeweils für deine Teillösung eine Probe machen.

$|x+2| = 3$

1. Für $x+2 \geq 0$ also $x \geq -2$ gilt $x = 1$ und das ist $\geq -2$.
2. $x+2 < 0$ ergibt $x = -5 < - 2$.

Also ist $\mathbb{L} = \{ 1;-5 \}$ .

Veranschauliche die Gleichung und Lösung; und frage dich, welche Lösungsmenge $|x+2| < 3$ ergibt.

$|x-5| = |x| +2$

Betrachtet man die beiden Beträge für sich und kombiniert, ergeben sich drei Fälle:

1. $x < 0$
2. $0 \leq x \leq 5$
3. $x > 5$

Finde die Lösung zunächst zeichnerisch.

Gehe dann die drei Fälle durch.

Wenn du beim zweiten Fall die Probe vergessen hast, kneife dir hart in die linke Hand.

$|x-2| + |4-x| \leq x+1$

Finde die drei Fälle mit Hilfe eines Zahlenstrahls.

Beim ersten Fall ergibt sich $x \geq \frac{5}{3}$ was zur ersten Teillösungsmenge $\mathbb{L} = [\frac{5}{3} ; 2]$ führt.

Falls du alle $x \geq \frac{5}{3}$ als Lösungsmenge besser findest, kneife dir in die linke Hand.

$|x+5| - |x+2| = x+3$

Schreibe $f(x) = |x+5| - |x+2|$ betragsfrei.

Löse die Gleichung graphisch und rechnerisch.

Lösung

Welche Lösungsmenge ergibt sich, wenn statt $=$ ein $<$ steht?

Lösung

Übungen

• $|5x+2| = 3$

  $\mathbb{L} = \{ -1, \frac{1}{5} \}$
• $|5x+2| < 3$

  $\mathbb{L} = ( -1, \frac{1}{5} )$
• $|8x-2| > 5$

  $\mathbb{L} = \mathbb{R} \backslash [- \frac{3}{8} ; \frac{7}{8} ]$
• $|8x-2| \leq 5$

  $\mathbb{L} = (- \frac{3}{8} ; \frac{7}{8} )$
• Buch Aufgabe 7.10 b
• Buch Aufgabe 7.9 b, c
• Buch Aufgabe 7.10 a
• Buch Aufgabe 7.11

Rechnung ohne Fallunterscheidung

$|5x+2| < 3$

$\Leftrightarrow -3 < 5x +2 < 3$

$\Leftrightarrow -5 < 5x < 1$

$\Leftrightarrow -1 < x < \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \mathbb{L} = (-1; \frac{1}{5} )$

Betragungleichungen mit zwei Variablen

$|x| + 2|y| \geq 4$

Finde eine Lösung. Woraus besteht jede Lösung? Und wie kann man sie veranschaulichen?

Fall 1: $x,y \geq 0$. Hier ergibt sich $y \geq - \frac{1}{2} x + 2$.

Beim Markieren der Lösungen müssen alle drei Gleichungen erfüllt sein, also liegen sie rechts der y-Achse, oberhalb der x-Achse und oberhalb der Geraden.

Bei den anderen Fällen geht man analog vor.

Lösung

Übungen

• $|2x+1| + |y-1| \leq 5$ Lösung
• $|x^2| + |y| \leq 5$ Lösung