Grenzwertsätze
EA: Grenzwertsätze abschreiben
S. 69 Satz 4.2
Beispiel
Wir versuchen, die Sätze auf die folgende Folge anzuwenden:
Zunächst berechnen wir ein paar der ersten Folgenglieder. Dann bestimmen wir mit den Grenzwertsätzen den Grenzwert der Folge. Wenn wir den Grenzwert nennen, gilt:
Was folgern wir also?
3 Wege
Ich kenne drei Wege zur Berechnung von Grenzwerten mittels Grenzwertsätzen. Ohne Grenzwertsätze verwendet man Weierstraß (was wir in den nächsten Stunden behandeln werden).
Um die Voraussetzung zu erfüllen, könnten wir zeigen, dass die Folge monoton steigend und begrenzt ist. Das holen wir in den nächsten Stunden nach. Wir glauben das erst mal, indem wir ein paar der ersten Folgenglied berechnen. Jetzt können wir Grenzwertsätze anwenden.
Polynomdivision
Jetzt können wir leicht den Limes gegen Unendlich betrachten.
Ausklammern
Und das geht, wie man denkt zu wissen, und was wir nächste Stunde zeigen werden, gegen 2. Im ersten Schritt müssen wir annehmen, dass ist.
De l'Hospital
Im ersten Schritt gehen wir davon aus, dass beide Funktionen monoton steigend sind.
Man versuche sich, um die Relevanz von De l'Hospital bewusst zu werden, an der Folge .
Übungen
Handout: Repetitorium S. 330+331
- Berechne, wenn möglich, mit Hilfe der Grenzwertsätze die Grenzwerte aus der Aufgabe 1 aus der letzten Stunde.
- Lösung: Geht gegen 1.
- Tipp: Schau dir erst die nächste Aufgabe an. Lösung: 1.
- Lösung: Den höchsten Summanden, hier den Zähler, auch im Nenner ausklammern... .
- Tipp: Da steht und man kann das zu einem Bruch mittels einer bekannten Formel so erweitern, dass die Wurzeln durch Quadrate wegfallen. Lösung:
- Tipp: Wenn der Grenzwert von ist, dann ist der von ? So, und jetzt in die Aufgabe 1 aus der letzten Stunde schauen. Lösung: .