Monotonie von Folgen

Definition

Eine Folge heißt monton wachsend (fallend), wenn für alle Folgenglieder gilt: an+1≥an a_{n+1} \geq a_n (an+1≤an a_{n+1} \leq a_n ). Bei streng monoton sind strenge Ungleichzeichen gemeint.

Beweise mittels Definition

Stellen Sie eine Vermutung bezüglich des Monotonieverhaltens der Folge auf und beweisen Sie sie mittels der Definition.

  1. an=1n a_n = \frac{1}{n}
    Lösung: monoton fallend
  2. an=8nn2+1 a_n = \frac{8n}{n^2+1}
    Lösung: monoton fallend
  3. an=10n−75+2n a_n = \frac{10n -7}{5+2n}
    Lösung: monoton wachsend
  4. an=2+n2n+3 a_n = \frac{2+n}{2n+3}
    Lösung: monoton fallend
  5. an=2n+1n+1 a_n = \frac{2n+1}{n+1}
    Lösung: monoton wachsend
  6. an+1=14an2+1,a1=1 a_{n+1} = \frac{1}{4} a_n^2+1, \; a_1 = 1
    Lösung: Siehe Glosauer Beispiel 4.20, S. 79

Beweise mittels Induktion

an+1=5an,a1=1 a_{n+1} = \sqrt{5 a_n},\quad a_1 = 1

zz: an a_n wächst monoton

IA: a2=5>1=a1 a_2 = \sqrt{5} > 1 = a_1 .

IV: an+1>an a_{n+1} > a_n

IS, n→n+1 n \rightarrow n+1 : an+2=5an+1≥IV5an=an+1 a_{n+2} = \sqrt{5a_{n+1}} \stackrel{\textsf{IV}}{\geq} \sqrt{5a_n} = a_{n+1}

Übungen

  1. a1=1,an+1=1+an a_1 = 1,\; a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}
    Lösung: Monoton wachsend. an+1=an+1<IVan+1+1=an+2a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1} \stackrel{\textsf{IV}}{<} \sqrt{a_{n+1}+1} = a_{n+2}
  2. Sehr schwierig: an=(1+1n)n a_n = (1+\frac{1}{n})^n ist streng monoton wachsend. Tipp: Man braucht die Bernoulli-Ungleichung (1+x)n>1+nx(fürx≥−1) (1+x)^n > 1+nx\; \text{(für}\; x \geq -1\text{)}

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